Какие права у меня, прописанной, на проведение ремонта в коммунальной квартире, если я не являюсь собственником?

Вообще-то по соглашению между собственниками. Но, если Вы сделаете ремонт без согласия собственника 2-й комнаты, то вряд ли он что-то будет по данному поводу предпринимать, но и часть денег Вам тоже не отдаст. Если Вы хотите, чтобы потом были взысканы с него расходы, то нужно заранее обзаводиться доказательствами необходимости, насущности конкретных ремонтных работ и их адекватной стоимости, сохранять все договоры, чеки и пр., а также сделать предварительную смету и направить её с предложением оплаты согласно долям в праве собственности на квартиру собственнику 2-й комнаты. Все договоры, смету и предложение собственнику надо делать от имени мамы!

Статья 247 ГК РФ. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности

1. Владение и пользование имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляются по соглашению всех ее участников, а при недостижении согласия - в порядке, устанавливаемом судом.

Статья 41 ЖК РФ. Право собственности на общее имущество собственников комнат в коммунальной квартире

1. Собственникам комнат в коммунальной квартире принадлежат на праве общей долевой собственности помещения в данной квартире, используемые для обслуживания более одной комнаты (далее - общее имущество в коммунальной квартире).

2. Изменение размера общего имущества в коммунальной квартире возможно только с согласия всех собственников комнат в данной квартире путем ее переустройства и (или) перепланировки.