Какую сумму алиментов могут назначить при отсутствии помощи со стороны отца и временном убежище?

Прежде всего Вы не сказали самого главного: гражданин какой страны ребенок и где Вы фактически сейчас проживаете. Но я исхожу из вашего общего временного убежища, вас обоих признали "лицами во временном убежище":

Согласно ч. 1 ст. 398 ГПК РФ иностранные граждане… имеют право обращаться в суды в Российской Федерации для защиты своих нарушенных или оспариваемых прав, свобод и законных интересов. В силу п. 8 ч. 3 ст. 402 ГПК РФ суды в Российской Федерации вправе также рассматривать дела с участием иностранных лиц в случае, если:… по делу о расторжении брака истец имеет место жительства в Российской Федерации или хотя бы один из супругов является российским гражданином. В силу ч. 1 ст. 21 СК РФ расторжение брака производится в судебном порядке при наличии у супругов общих несовершеннолетних детей. В силу ч. 4 ст. 29 ГПК РФ иски о расторжении брака могут предъявляться также в суд по месту жительства истца в случаях, если при нем находится несовершеннолетний Таким образом, Вы имеете право подать исковое заявление о разводе мировому судье по месту Вашего жительства фактического.... (документ только нужен будет)...

И, ответственно, подать на судебный приказ об алиментах (можно сразу с расторжением брака, можно До можно ПОСЛЕ), если брака не было, то размер на 1 ребенка алиментов 1/4 доходов судье по фактическому своему проживанию....