Необходимо ли платить налог с найденных стародавних монет?

Да, должны отдать.

Статья 233. Клад

[Гражданский кодекс РФ] [Глава 14] [Статья 233]

1. Клад, то есть зарытые в земле или сокрытые иным способом деньги или ценные предметы, собственник которых не может быть установлен либо в силу закона утратил на них право, поступает в собственность лица, которому принадлежит имущество (земельный участок, строение и т.п.), где клад был сокрыт, и лица, обнаружившего клад, в равных долях, если соглашением между ними не установлено иное.

При обнаружении клада лицом, производившим раскопки или поиск ценностей без согласия на это собственника земельного участка или иного имущества, где клад был сокрыт, клад подлежит передаче собственнику земельного участка или иного имущества, где был обнаружен клад.

2. В случае обнаружения клада, содержащего вещи, которые относятся к культурным ценностям и собственник которых не может быть установлен либо в силу закона утратил на них право, они подлежат передаче в государственную собственность. При этом собственник земельного участка или иного имущества, где клад был сокрыт, и лицо, обнаружившее клад, имеют право на получение вместе вознаграждения в размере пятидесяти процентов стоимости клада. Вознаграждение распределяется между этими лицами в равных долях, если соглашением между ними не установлено иное.

При обнаружении такого клада лицом, производившим раскопки или поиски ценностей без согласия собственника имущества, где клад был сокрыт, вознаграждение этому лицу не выплачивается и полностью поступает собственнику.

3. Правила настоящей статьи не применяются к лицам, в круг трудовых или служебных обязанностей которых входило проведение раскопок и поиска, направленных на обнаружение клада.