Возможно ли открыть частный ЗАГС или какие могут быть варианты для этого?

Нельзя. Полномочия государственные, передаваться могут только указанным в законе органам, а не частным лицам.

Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ

"Об актах гражданского состояния"

(с изменениями от 25 октября 2001 г., 29 апреля 2002 г., 22 апреля, 7 июля, 8 декабря 2003 г., 22 августа, 29 декабря 2004 г., 31 декабря 2005 г., 18 июля 2006 г., 23 июля 2008 г.)

"Статья 4. Органы, которые производят государственную регистрацию актов гражданского состояния

1. Государственная регистрация актов гражданского состояния производится органами записи актов гражданского состояния, образованными органами государственной власти субъектов Российской Федерации (далее - органы записи актов гражданского состояния).

Вопросы образования и деятельности органов записи актов гражданского состояния на территориях субъектов Российской Федерации решаются субъектами Российской Федерации самостоятельно на основании настоящего Федерального закона.

Руководитель органа исполнительной власти субъекта Российской Федерации, в компетенцию которого входит организация деятельности по государственной регистрации актов гражданского состояния на территории субъекта Российской Федерации, назначается высшим должностным лицом (руководителем высшего исполнительного органа государственной власти) соответствующего субъекта Российской Федерации по согласованию с уполномоченным федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере государственной регистрации актов гражданского состояния.

Полномочия на государственную регистрацию актов гражданского состояния являются полномочиями Российской Федерации, которые передаются органам государственной власти субъектов Российской Федерации (с возможностью делегирования органам местного самоуправления), финансирование которых осуществляется за счет субвенций из федерального бюджета".