Какие права имею я, работник организации, при сокращении штата и предложении написать заявление по собственному желанию?

Здравствуйте, Владимир! Никто Вас заставить написать заявление по собственному желанию не может.

Согласно ч. 1 ст. 178 Трудового кодекса РФ при расторжении трудового договора в связи с ликвидацией организации (пункт 1 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) либо сокращением численности или штата работников организации (пункт 2 части первой статьи 81 настоящего Кодекса) увольняемому работнику выплачивается выходное пособие в размере среднего месячного заработка, а также за ним сохраняется средний месячный заработок на период трудоустройства, но не свыше двух месяцев со дня увольнения (с зачетом выходного пособия).

Обращаю Ваше внимание на то, что ст. 180 Трудового кодекса РФ устанавливается порядок уведомления об увольнении по сокращению штата, согласно которому о предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.

Пунктом 3 ч. 1 ст. 81 ТК РФ предусмотрено, что трудовой договор может быть расторгнут по инициативе работодателя в случае несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;

Если Вы считаете, что результаты аттестации сфальсифицированы, то необходимо обратиться с соответствующим заявлением в государственную инспекцию по труду и органы прокуратуры