Вопрос - Могу ли оформить больничный по уходу для сестры с раком, проживая в другом регионе?

Здравствуйте. Да, сможете оформить. Соглансо ФЗ № 255-ФЗ:

Статья 6. Условия и продолжительность выплаты пособия по временной нетрудоспособности

1. Пособие по временной нетрудоспособности при утрате трудоспособности вследствие заболевания или травмы выплачивается застрахованному лицу за весь период временной нетрудоспособности до дня восстановления трудоспособности (установления инвалидности), за исключением случаев, указанных в частях 3 и 4 настоящей статьи.

(в ред. Федерального закона от 24.07.2009 N 213-ФЗ)

2. При долечивании застрахованного лица в санаторно-курортной организации, расположенной на территории Российской Федерации, непосредственно после оказания медицинской помощи в стационарных условиях пособие по временной нетрудоспособности выплачивается за период пребывания в санаторно-курортной организации, но не более чем за 24 календарных дня (за исключением заболевания туберкулезом).

(часть 2 в ред. Федерального закона от 25.11.2013 N 317-ФЗ)

3. Застрахованному лицу, признанному в установленном порядке инвалидом, пособие по временной нетрудоспособности (за исключением заболевания туберкулезом) выплачивается не более четырех месяцев подряд или пяти месяцев в календарном году. При заболевании указанных лиц туберкулезом пособие по временной нетрудоспособности выплачивается до дня восстановления трудоспособности или до дня пересмотра группы инвалидности вследствие заболевания туберкулезом.

(в ред. Федерального закона от 24.07.2009 N 213-ФЗ)

4. Застрахованному лицу, заключившему срочный трудовой договор (срочный служебный контракт) на срок до шести месяцев, а также застрахованному лицу, у которого заболевание или травма наступили в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования, пособие по временной нетрудоспособности (за исключением заболевания туберкулезом) выплачивается не более чем за 75 календарных дней по этому договору. При заболевании туберкулезом пособие по временной нетрудоспособности выплачивается до дня восстановления трудоспособности (установления инвалидности). При этом застрахованному лицу, у которого заболевание или травма наступили в период со дня заключения трудового договора до дня его аннулирования, пособие по временной нетрудоспособности выплачивается со дня, с которого работник должен был приступить к работе.

(в ред. Федерального закона от 24.07.2009 N 213-ФЗ)

5. Пособие по временной нетрудоспособности при необходимости осуществления ухода за больным членом семьи выплачивается застрахованному лицу:

....

6) в остальных случаях ухода за больным членом семьи при лечении в амбулаторных условиях - не более чем за 7 календарных дней по каждому случаю заболевания, но не более чем за 30 календарных дней в календарном году по всем случаям ухода за этим членом семьи.