Банк требует выплату ссуды, грозя наложить арест на квартиру - возможно ли переписать ее на мать?

Если жилое помещение является единственным пригодным жилым помещением то обращения взыскания на такое жилье запрещено (ст. 446 ГК РФ).

Для отчуждения имущества в пользу матери Вам потребуется заключить гражданско правовой договор (дарения, купли продажи, мены и т.п.)

Договор подлежит государственной регистрации и считается заключенным со дня госрегистрации в Росреестре.

Советую сделку оформить договором дарения. Для составления договора обращайтесь.