Возможно ли использовать материнский капитал для покупки второй квартиры и кто должен оформить документы на нее?

Да, можете купить согласно Постановлению Правительства РФ № 862:

5. Лицо, получившее сертификат, указывает в заявлении вид расходов, на которые направляются средства (часть средств) материнского (семейного) капитала для улучшения жилищных условий, а также размер указанных средств. В случае направления средств (части средств) материнского (семейного) капитала на приобретение, строительство жилого помещения, а также на строительство или реконструкцию объекта индивидуального жилищного строительства без привлечения строительной организации, осуществляемые супругом лица, получившего сертификат, такое обстоятельство указывается в заявлении.

(в ред. Постановления Правительства РФ от 27.11.2010 N 937)

6. Заявление подается в письменной форме с предъявлением следующих документов:

а) утратил силу. - Постановление Правительства РФ от 30.01.2015 N 77;

б) основной документ, удостоверяющий личность лица, получившего сертификат, и его регистрацию по месту жительства либо по месту пребывания;

в) основной документ, удостоверяющий личность представителя, и нотариально удостоверенная доверенность, подтверждающая его полномочия, - в случае подачи заявления через представителя;

г) основной документ, удостоверяющий личность супруга лица, получившего сертификат, и его регистрацию по месту жительства либо по месту пребывания, - в случае если стороной сделки либо обязательств по приобретению или строительству жилья является супруг лица, получившего сертификат, либо если строительство или реконструкция объекта индивидуального жилищного строительства осуществляются супругом лица, получившего сертификат;

(в ред. Постановления Правительства РФ от 27.11.2010 N 937)

д) свидетельство о браке - в случае если стороной сделки либо обязательств по приобретению или строительству жилья является супруг лица, получившего сертификат, либо если строительство или реконструкция объекта индивидуального жилищного строительства осуществляются супругом лица, получившего сертификат.