Могут ли мне отказать в оформлении допуска к гос. тайне из-за судимости моих родственников?

Нет, это не основнаие для отказа в допуске.

Допуск должностных лиц и граждан к государственной тайне регламентирован Законом Российской Федерации от 21 июля 1993 г. № 5485-1 «О государственной тайне», Постановлением Правительства РФ от 06.02.2010 N 63 (ред. от 01.11.2012) "Об утверждении Инструкции о порядке допуска должностных лиц и граждан Российской Федерации к государственной тайне"

Пунктом 12 данной Инструкции к числу оснований для отказа гражданину в допуске к государственной тайне относясится:

а) признание гражданина судом недееспособным, ограниченно дееспособным или рецидивистом, нахождение его под судом или следствием за государственные или иные тяжкие преступления, наличие у гражданина неснятой судимости за эти преступления;

б) наличие у гражданина медицинских противопоказаний для работы с использованием сведений, составляющих государственную тайну, согласно перечню, утверждаемому федеральным органом исполнительной власти, уполномоченным в области здравоохранения и социального развития;

в) постоянное проживание его самого и (или) его близких родственников за границей и (или) оформление указанными гражданами документов для выезда на постоянное место жительства в другие государства;

г) выявление в результате проведения проверочных мероприятий действий гражданина, создающих угрозу безопасности Российской Федерации;

д) уклонение гражданина от проверочных мероприятий и (или) сообщение заведомо ложных анкетных данных.

Таким образом, формально законодательно не установлено право уполномоченого органа по отказу Вам в предоставлении допуска на том основании, что у Вашего родственника была судимость.

Между тем, порядок оформления допуска к гостайне также предусмотрен секретными приказами, которые отсутствуют в свободном доступе и однозначно установить имеются ли в данных подзаконных нормативных актах такие основания для отказа в оформлении допуска (даже рекомендательного характера), как наличие судимости у родственника, не представляется возможным.

Но представляется, что такой отказ встречается на практике довольно-таки часто и все зависит от того органа, на замещение должности в который Вы претендуете. (если это ФСБ, ФСО, СВР или ГРУ, то можете запросто получить отказ.)