Что делать, если один из клиентов банка не забрал деньги из закрытой банковской ячейки?

Это должно быть определено условиями Вашего договора, его нужно изучать (ст. 421 ГК РФ)

В соответствии с п.2 ст.1, п.1 ст.420, п.п.1, 4 ст.421, п.3 ст.423 ГК РФ договором признается соглашение двух или нескольких лиц об установлении, изменении гражданских прав и обязанностей. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора и в установлении своих прав и обязанностей по нему. Условия договора определяются по усмотрению сторон, при условии их непротиворечия законодательству, а также, кроме случаев, когда содержание соответствующего условия предписано законом, иным правовым актом

Нужно письменно обратиться к клиенту о продлении срока договора аренды или прекращении.

Если клиент не приходит в банк в течение одного месяца по истечении срока действия договора, банк имеет право вскрыть ячейку и принять находящееся там имущество на хранение.

Статья 899 ГК РФ Обязанность поклажедателя взять вещь обратно

Путеводитель по судебной практике (высшие суды и арбитражные суды округов) по ст. 899 ГК РФ >>>

1. По истечении обусловленного срока хранения или срока, предоставленного хранителем для обратного получения вещи на основании пункта 3 статьи 889 настоящего Кодекса, поклажедатель обязан немедленно забрать переданную на хранение вещь.

2. При неисполнении поклажедателем своей обязанности взять обратно вещь, переданную на хранение, в том числе при его уклонении от получения вещи, хранитель вправе, если иное не предусмотрено договором хранения, после письменного предупреждения поклажедателя самостоятельно продать вещь по цене, сложившейся в месте хранения, а если стоимость вещи по оценке превышает сто установленных законом минимальных размеров оплаты труда, продать ее с аукциона в порядке, предусмотренном статьями 447 - 449 настоящего Кодекса.

Сумма, вырученная от продажи вещи, передается поклажедателю за вычетом сумм, причитающихся хранителю, в том числе его расходов на продажу вещи.

И как он должен об этих действиях уведомить клиентов ?

Статья 165.1. Юридически значимые сообщения

ГАРАНТ:

См. комментарии к статье 165.1 ГК РФ

1. Заявления, уведомления, извещения, требования или иные юридически значимые сообщения, с которыми закон или сделка связывает гражданско-правовые последствия для другого лица, влекут для этого лица такие последствия с момента доставки соответствующего сообщения ему или его представителю.

Сообщение считается доставленным и в тех случаях, если оно поступило лицу, которому оно направлено (адресату), но по обстоятельствам, зависящим от него, не было ему вручено или адресат не ознакомился с ним.

2. Правила пункта 1 настоящей статьи применяются, если иное не предусмотрено законом или условиями сделки либо не следует из обычая или из практики, установившейся во взаимоотношениях сторон.

Система ГАРАНТ: base.garant.ru