Отсутствие оформления трудовых отношений и проблемы с выплатой заработной платы - какие права у работника?

Здравствуйте.

Нет, не может.

Работник принимается на работу с подписанием трудового договора, изданием приказа о приеме на работу и внесением записи о том в трудовую книжку.

При этом:

В соответствии со ст. 67 Трудового кодекса РФ - Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, - не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Также:

Статья 67.1.Трудового кодекса РФ:

Если физическое лицо было фактически допущено к работе работником, не уполномоченным на это работодателем, и работодатель или его уполномоченный на это представитель отказывается признать отношения, возникшие между лицом, фактически допущенным к работе, и данным работодателем, трудовыми отношениями (заключить с лицом, фактически допущенным к работе, трудовой договор), работодатель, в интересах которого была выполнена работа, обязан оплатить такому физическому лицу фактически отработанное им время (выполненную работу).

Можете написать жалобу в прокуратуру и государственную инспекцию по труду на действия работодателя и/или обратиться в суд с иском о признании фактически заключенного трудового договора и оплате за выполненную работу.