И с какого момента пойдет срок, с момента вынесения постановления судом или с момента сдачи временного удостоверения?

Да, нужно сдавать, Денис.

Статья 32.7 КоАП РФ (который пока не отменен). Исчисление срока лишения специального права:

1. Течение срока лишения специального права начинается со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права.

1.1. Документы, предусмотренные частями 2 и 3 статьи 32.6 настоящего Кодекса, должны быть сданы лицом, лишенным специального права, в орган, исполняющий этот вид административного наказания, в течение трех рабочих дней со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права.

(часть первая.1 введена Федеральным законом от 24.07.2007 N 210-ФЗ)

2. В случае уклонения лица, лишенного специального права, от сдачи соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов срок лишения специального права прерывается. Течение срока лишения специального права начинается со дня сдачи лицом либо изъятия у него соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов.

3. Течение срока лишения специального права в случае назначения лицу, лишенному специального права, административного наказания в виде лишения того же специального права начинается со дня, следующего за днем окончания срока административного наказания, примененного ранее.

С момента сдачи временного разрешения или удостоверения (если оно не изымалось) и пойдет отсчет срока наказания.