Имеет ли оно такую же юридическую силу, или нужно оформлять официальный договор в самом банке?

Можно, это особая форма договора - договор присоединения.

Статья 428. Договор присоединения

1. Договором присоединения признается договор, условия которого определены одной из сторон в формулярах или иных стандартных формах и могли быть приняты другой стороной не иначе как путем присоединения к предложенному договору в целом.

2. Присоединившаяся к договору сторона вправе потребовать расторжения или изменения договора, если договор присоединения хотя и не противоречит закону и иным правовым актам, но лишает эту сторону прав, обычно предоставляемых по договорам такого вида, исключает или ограничивает ответственность другой стороны за нарушение обязательств либо содержит другие явно обременительные для присоединившейся стороны условия, которые она исходя из своих разумно понимаемых интересов не приняла бы при наличии у нее возможности участвовать в определении условий договора.

3. При наличии обстоятельств, предусмотренных в пункте 2 настоящей статьи, требование о расторжении или об изменении договора, предъявленное стороной, присоединившейся к договору в связи с осуществлением своей предпринимательской деятельности, не подлежит удовлетворению, если присоединившаяся сторона знала или должна была знать, на каких условиях заключает договор.