Со старого тополя упала ветка на машину и оставила вмятину. Кому предъявить претензию и как убрать старый тополь?

зависит от того, в чьей собственности земля, где расположен тополь. Если принадлежит многоквартирному дому, предъявляйте домоуправлению. Если Вы проживаете в этом доме, то следует подавать иск о ненадлежащем оказании услуг (проще достичь положительного результата).

А что касается вырубки деревьев, также зависит от того на чьей территории находится тополь. Либо по решению собственников жилья, либо с согласия администрации района.