Проживаю в съёмной квартире (по договору). Возможно ли зарегистрировать гладкоствольное оружие в ближайшем отделе полиции?

Нет нельзя.Дело в том, что временная регистрация, это регистрация по месту пребывания. А вот постоянная регистрация - это регистрация по месту жительства.

Закон "Об оружии":

Статья 13. Право на приобретение оружия гражданами Российской Федерации

Право на приобретение оружия самообороны, спортивного и охотничьего оружия, сигнального оружия и холодного клинкового оружия, предназначенного для ношения с национальными костюмами народов Российской Федерации или казачьей формой, имеют граждане Российской Федерации, достигшие 18-летнего возраста, после получения лицензии на приобретение конкретного вида оружия в органах внутренних дел по месту жительства.

Статья 20 Гражданского кодекса РФ устанавливает, что «местом жительства признается место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает».

По вопросу о необходимости перерегистрации:

Статья 20.11. Нарушение сроков регистрации (перерегистрации) оружия или сроков постановки его на учет

[Кодекс РФ об административных правонарушениях]

1. Нарушение гражданином установленных сроков регистрации приобретенного по лицензиям органов внутренних дел оружия, а равно установленных сроков продления (перерегистрации) разрешений (открытых лицензий) на его хранение и ношение или сроков постановки оружия на учет в органах внутренних дел при изменении гражданином постоянного места жительства -

влечет предупреждение или наложение административного штрафа в размере от одной тысячи до трех тысяч рублей.

То есть, вы обязаны иметь место ПОСТОЯННОЙ регистрации. Лицензия на приобретение оружия не выдается гражданам Российской Федерации:... не имеющим ПОСТОЯННОГО места жительства (ч.21 ст.13 ФЗ "Об оружии").

ПОСТАНОВЛЕНИЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА РФ ОТ 21.07.1998 N 814 (РЕД. ОТ 04.03.2010) "О МЕРАХ ПО РЕГУЛИРОВАНИЮ ОБОРОТА ГРАЖДАНСКОГО И СЛУЖЕБНОГО ОРУЖИЯ И ПАТРОНОВ К НЕМУ НА ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ" (ВМЕСТЕ С "ПРАВИЛАМИ ОБОРОТА ГРАЖДАНСКОГО И СЛУЖЕБНОГО ОРУЖИЯ И ПАТРОНОВ К НЕМУ НА ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ"

59. Принадлежащие гражданам Российской Федерации оружие и патроны должны храниться по месту их проживания с соблюдением условий, обеспечивающих их сохранность, безопасность хранения и исключающих доступ к ним посторонних лиц...

Органы внутренних дел по месту жительства владельцев имеют право проверять условия хранения зарегистрированного ими оружия.

Таков закон.

Всего доброго.