Ребенку 5 месяцев, решила выйти на работу. Могу ли я переоформить пособие до 1,5 лет на бабушку, и она прописана в другом городе?

Только если эта бабушка работающая и у своего работодателя оформит отпуск по уходу за ребенком, т.е Все будет делаться по месту работы Вашей мамы (бабушки). если она на пенсии, то увы оформить пособие по уходу за ребенком на нее не получится.

Вы имеете право с выходом на работу сохранить за собой пособие, но в этом случае Вы должны выйти на работу на условиях неполного рабочего дня или работать на дому, что должно быть зафиксировано в приказе о допуске Вас к работе.

ст. 11.1 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ

"Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством":

Ежемесячное пособие по уходу за ребенком выплачивается застрахованным лицам (матери, отцу, другим родственникам, опекунам), фактически осуществляющим уход за ребенком и находящимся в отпуске по уходу за ребенком, со дня предоставления отпуска по уходу за ребенком до достижения ребенком возраста полутора лет.

2. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком сохраняется в случае, если лицо, находящееся в отпуске по уходу за ребенком, работает на условиях неполного рабочего времени или на дому и продолжает осуществлять уход за ребенком.

В случае, если уход за ребенком осуществляется одновременно несколькими лицами, право на получение ежемесячного пособия по уходу за ребенком предоставляется одному из указанных лиц.