Влияет ли наличие судимости за изнасилование и наркотики на лишение родительских прав?

Безусловно, это характеризующие личность обстоятельства. Но Вам в любом случае необходимо доказать, что бывший супруг не исполняет должным образом родительские обязанности: не содержит ребенка, не принимает участия в воспитании ребенка и т.п.