Влияет ли наследство квартиры на регистрацию и право пользования муниципальным жильем?

На самом деле не может. Основания для прекращения регистрации указаны ниже. Но в Вашем случае все может быть только на основании решения суда. По тексту вопроса, наниматель в суд обращаться не будет.

Правила

регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации

(утв. постановлением Правительства РФ от 17 июля 1995 г. N 713)

(с изменениями от 23 апреля 1996 г., 14 февраля 1997 г., 16 марта 2000 г., 14 августа 2002 г., 22 декабря 2004 г., 28 марта 2008 г.)

"31. Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:

а) изменение места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства. При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;

б) призыва на военную службу - на основании сообщения военного комиссариата;

в) осуждения к лишению свободы - на основании вступившего в законную силу приговора суда;

г) признания безвестно отсутствующим - на основании вступившего в законную силу решения суда;

д) смерти или объявления решением суда умершим - на основании свидетельства о смерти, оформленного в установленном законодательством порядке;

е) выселения из занимаемого жилого помещения или признания утратившим право пользования жилым помещением - на основании вступившего в законную силу решения суда;

ж) обнаружения не соответствующих действительности сведений или документов, послуживших основанием для регистрации, а также неправомерных действий должностных лиц при решении вопроса о регистрации - на основании вступившего в законную силу решения суда".