Или может ли та квартира, в которой они сейчас проживают стать их собственностью?

В силу ст.108 ЖК Вы с дочерью не можете быть выселены с занимаемой служебной площади без предоставления другого жилья, поскольку Вы, как члены семьи военнослужащего, проработавшего в учреждении, организации, предоставившей жилое помещение, не менее 10 лет, пользуетесь правом по ст.97 ЖК (цитирую: Статья 97. Предоставление другого жилого помещения в связи с выселением

Предоставляемое гражданам в связи с выселением другое жилое помещение должно отвечать установленным санитарным и техническим требованиям и находиться в черте данного населенного пункта, а в сельской местности при выселении из домов колхозов и совхозов - в пределах территории поселкового, сельского Совета либо в пределах границ хозяйства колхоза или совхоза, расположенных на территории нескольких поселковых, сельских Советов.

Т.о., по истечении срока временной прописки Ваше с дочерью выселение будет производиться в судебном порядке. Помещение, предоставляемое выселяемому, должно быть указано в решении суда о выселении нанимателя. Относительно предоставления жилого помещения в соответствии со ст. 97 ЖК в Постановлении Пленума Верховного Суда СССР от 03.04.87 N 2 разъясняется, что, рассматривая иски о выселении с предоставлением другого жилого помещения, отвечающего санитарным и техническим требованиям, суд обязан истребовать доказательства, подтверждающие возможность поселения ответчика в предоставляемое жилое помещение. При необходимости суд может обязать соответствующие органы (например, санитарно-эпидемиологической службы) провести обследование жилого помещения и представить заключение о его пригодности для проживания. Такое заключение оценивается в совокупности с другими доказательствами.

Квартира служебная, т.е. имеющая собственником конкретное юрлицо, не может стать Вашей собственностью иначе как по решению этого собственника. Бывший муж также имеет право пользования квартирой и лишить его этого права можно только по суду при наличии оснований.