В государственное учреждение направили запрос, чтоб дали разъяснения.

В общем случае - месяц. Действительно, можете обращаться в суд, в том числе и на бездействие.

Федеральный закон от 2 мая 2006 г. N 59-ФЗ

"О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации"

"Статья 12. Сроки рассмотрения письменного обращения

1. Письменное обращение, поступившее в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу в соответствии с их компетенцией, рассматривается в течение 30 дней со дня регистрации письменного обращения.

2. В исключительных случаях, а также в случае направления запроса, предусмотренного частью 2 статьи 10 настоящего Федерального закона, руководитель государственного органа или органа местного самоуправления, должностное лицо либо уполномоченное на то лицо вправе продлить срок рассмотрения обращения не более чем на 30 дней, уведомив о продлении срока его рассмотрения гражданина, направившего обращение.

Статья 16. Возмещение причиненных убытков и взыскание понесенных расходов при рассмотрении обращений

1. Гражданин имеет право на возмещение убытков и компенсацию морального вреда, причиненных незаконным действием (бездействием) государственного органа, органа местного самоуправления или должностного лица при рассмотрении обращения, по решению суда.

2. В случае, если гражданин указал в обращении заведомо ложные сведения, расходы, понесенные в связи с рассмотрением обращения государственным органом, органом местного самоуправления или должностным лицом, могут быть взысканы с данного гражданина по решению суда".