И нужно ли после такого заявления отрабатывать и сколько дней?

Увы. Судя по тексту вопроса, речь идет о предусмотренной ст. 180 ТК РФ ситуации. Но досрочное прекращение договора по сокращению возможно только в том случае, если обе стороны согласны на такое досрочное прекращение. Работодатель, похоже, не согласен. И подача заявления на досрочное прекращение трудового договора в таком случае (отсутствия согласия работодателя) не влечет за собой возникновения у работодателя обязанности прекратить договор в указанный работником в заявлении срок. И работать необходимо до издания приказа об увольнении.

ТК РФ.

"Статья 180. Гарантии и компенсации работникам при ликвидации организации, сокращении численности или штата работников организации

При проведении мероприятий по сокращению численности или штата работников организации работодатель обязан предложить работнику другую имеющуюся работу (вакантную должность) в соответствии с частью третьей статьи 81 настоящего Кодекса.

О предстоящем увольнении в связи с ликвидацией организации, сокращением численности или штата работников организации работники предупреждаются работодателем персонально и под роспись не менее чем за два месяца до увольнения.

Работодатель с письменного согласия работника имеет право расторгнуть с ним трудовой договор до истечения срока, указанного в части второй настоящей статьи, выплатив ему дополнительную компенсацию в размере среднего заработка работника, исчисленного пропорционально времени, оставшемуся до истечения срока предупреждения об увольнении".