Подскажите, пожалуйста, какие документы надо, и куда их нужно (можно) ещё направить?

Для скорейшего решения вопроса подайте исковое заявление в суд. С Уважением

Константин, Вам действительно необходимо обратиться в суд. Однако не рекомендую требовать взыскания полной стоимости автомобиля, не убедившись, что правила страхования предусматривают обязанность страховщика выплатить возмещение в размере стоимости машины и забрать её остатки. Предъявляя такое требование, Вы можете вообще проиграть дело, поскольку на Вас лежит обязанность доказать размер ущерба, т.е. представить заключение о стоимости ремонта или заключение о стоимости автомобиля до ДТП и стоимости годных остатков (в вашем случае - оба этих документа); такие документы можно запросить у страховщика (сначала - в письменной форме, а потом, в случае непредставления - через суд).

Относительно уплаты государственной пошлины сообщаю, что необходимость в уплате пошлины отсутствует, так как Приказом ГАК РФ от 20 мая 1998 г. N 160 и решением Верховного Суда от 28 апреля 2004 г. N ГКПИ04-418 разъяснено, что требования страхователей защищают Законом "О защите прав потребителей" и, соответственно, освобождены от уплаты государственной пошлины.

Если Вам потребуется представительство в суде или помощь в подготовке документов, обращайтесь.