Возможен ли договор с заказчиком по почте, и если да, то как быть с датой заключения договора и сроками оказания услуг?

Предложенная Вами схема подписания договора вполне законна.

Кроме того, Вы можете начать согласовывать текст договора заранее, до наступления даты, которая будет указана в договоре как дата начала действия договора.

Другой возможный вариант - указать, что договор вступает в силу с даты его подписания второй стороной. В этом случае желательно, чтобы каждая сторона, расписываясь в договоре, поставила также свою дату.

Еще один вариант - в договоре его срок действия будет указан, например, с 1.09.09 г., а срок оказания услуг - в течение, например, 10 календарных дней с даты поступления аванса (если об авансе есть договоренность) или с даты представления заказчиком требуемых документов и т.п.

Следующий вариант - п. 2 ст. 434 ГК РФ говорит, что договор в письменной форме может быть заключен не только путем составления одного документа, подписанного сторонами, а также путем обмена документами посредством почтовой, телеграфной, телетайпной, телефонной или иной связи, позволяющей достоверно установить, что документ исходит от стороны по договору. Договор в виде одного документа, подписанного обоими сторонами в обязательном порядке нужен тогда, когда об этом прямо говорится в законе, например, при продаже недвижимости.