В связи с тем, что мои родители проживают не в Питере, они воспользовались услугами горе-адвоката.

Николай, вынужден Вас огорчить: в суд надзорной инстанции можно обращаться в течение 6 месяцев, но только если "исчерпаны иные установленные настоящим Кодексом [ГПК РФ] способы обжалования судебного постановления до дня его вступления в законную силу", то есть если Вы обращались в суд кассационной инстанции. От себя добавлю, что оспаривать сумму компенсации морального вреда в суд надзорной инстанции, даже если бы это и было возможно, было бы нецелесообразно: этот суд отменяет решения только при выявлении существенных нарушений норм материального или процессуального права, а вопрос о размере компенсации - вопрос не применения норм права, а установления обстоятельств; более того, даже если бы решение было обжаловано в суд кассационной инстанции (как было согласовано с адвокатом), вряд ли сумма компенсации бы изменилась (вопрос о размере морального вреда - вопрос оценки личности истцов, потерпевшего, ответчика, особенностей события и множества других обстоятельств; в подобных случаях, насколько мне известно по опыту, городской суд не берётся переоценивать выводы суда первой инстанции, а просто пишет, что он "сделаны на основании имеющихся доказательств". Однако это не оправдывает адвоката, не оказавшего услугу, которую он обещал оказать. Если у Вас есть договор с адвокатом или хотя бы квитанция о том, что за кассационную жалобу уплачено, Вы можете потребовать возврата денег. Кроме того, на изложенные Вами обстоятельства Вы можете указывать как на основание для восстановления пропущенного срока для обжалования (если, несмотря на сказанное мной относительно перспектив кассационного обжалования, у Вас есть желание оспаривать решение в городском суде) - возможно, районный суд признает их как уважительную причину, т.к. истец имел право рассчитывать на добросовестность адвоката, и направит дело в городской суд.