Что могут сделать полицейские, если признают показания или заявления ложными?

возбудить уголовное дело.

грозит статья.

Статья 307. Заведомо ложные показание, заключение эксперта, специалиста или неправильный перевод

[Уголовный кодекс РФ] [Глава 31] [Статья 307]

1. Заведомо ложные показание свидетеля, потерпевшего либо заключение или показание эксперта, показание специалиста, а равно заведомо неправильный перевод в суде либо при производстве предварительного расследования -

наказываются штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до трех месяцев.

2. Те же деяния, соединенные с обвинением лица в совершении тяжкого или особо тяжкого преступления, -

наказываются принудительными работами на срок до пяти лет либо лишением свободы на тот же срок.

Примечание. Свидетель, потерпевший, эксперт, специалист или переводчик освобождаются от уголовной ответственности, если они добровольно в ходе дознания, предварительного следствия или судебного разбирательства до вынесения приговора суда или решения суда заявили о ложности данных ими показаний, заключения или заведомо неправильном переводе.