Вопрос: Должен ли он мне платить алименты, если он не работает вообще или находится в отпуске по уходу за ребенком?

В Вашем случае я бы подал иск в суд на изменение размера алиментов. Если при отсутствии соглашения об уплате алиментов после установления в судебном порядке размера алиментов изменилось материальное или семейное положение одной из сторон, суд вправе по требованию любой из сторон изменить установленный размер алиментов (ст. 119 СК). При отсутствии соглашения родителей об уплате алиментов на несовершеннолетних детей и в случаях, если родитель, обязанный уплачивать алименты, имеет нерегулярный, меняющийся заработок и(или) иной доход, либо если этот родитель получает заработок и(или) иной доход полностью или частично в натуре или в иностранной валюте, либо если у него отсутствует заработок и(или) иной доход, а также в других случаях, если взыскание алиментов в долевом отношении к заработку и(или) иному доходу родителя невозможно, затруднительно или существенно нарушает интересы одной из сторон, суд вправе определить размер алиментов, взыскиваемых ежемесячно, в твердой денежной сумме или одновременно в долях и в твердой денежной сумме. (ст. 83 СК РФ).

Как вариант можно рассмотреть вопрос о лишении его родительских прав (тогда он не сможет требовать содержание с ребёнка в будущем), но надо изучить тогда более подробно Вашу ситуацию, есть ли к тому основания.