Если это невозможно, то как поступить с квартирой, чтобы не потерять ее?

Уважаемая Ирина! Согласно ст.1157 ГК РФ наследник может отказаться от наследства в течение срока, установленного для принятия наследства (6 мес. с момента смерти наследодателя) и только в пользу наследников по закону или по завещанию(ст.1158 ГК РФ). Поскольку завещания отцом не оставлено, а к моменту открытия наследства Ваша мать давно была в разводе с отцом, то к числу наследников по закону она не относится, поэтому отказаться от наследства в её пользу нельзя. На момент открытия наследства действовал в части наследования ГК РСФСР 1964г. Согласно ст.550 ГК РСФСР 1964г. отказ от наследства также был возможен в 6-ти месячный срок и отказаться от наследства в пользу Вашей матери, не являющейся наследницей по закону и по завещанию также было нельзя. Вам необходимо в суде по месту Вашего жительства(подсудность мирового судьи, если он имеется на Вашей территории) установить юридический факт принятия наследства(ст. ст.264-268 ГПК РФ), доказывая свидетельскими показаниями, что в 6-ти месячный срок получили в пользование какие-либо вещи отца(независимо от количества предметов и их стоимости, например подстаканник, одеяло, сервиз и. т. п), что означает согласно ст.546 ГК РСФСР 1964г., что Вы приняли наследство. С копией вступившего в законную силу решения суда вместе с матерью обращайтесь к нотариусу за подписанием соглашения об определении долей(ст.245 ГК РФ), а затем получите св-во о праве на наследство и зарегиструете своё право собственности на 1/2 квартиры как единственная наследница отца. Другой путь, менее хороший по доказыванию, т.к поверить в это утверждение трудно, если Вы с матерью живёте в одном городе и участвовали в похоронах отца- продление через суд срока для принятия наследства, доказывая, что не знали о приватизации квартиры и узнали только что, то есть в последние 6 мес.(ст.1155 ГК РФ). После регистрации в Москомрегистрации св-ва о праве на наследство Вы сможете продать или подарить 1/2 квартиры матери, если захотите.