Возможность лишения матери родительских прав и передачи ребенка биологическому отцу в случае отсутствия прописки, дохода и жилья

Александр Александрович, а зачем-же так-то вот. Она - мать. Ну, нет постоянного жилья, нет работы. Если она не алкоголичка, не наркоманка, то помогли бы тогда ради ребенка. Какая опека? Вы - отец. И ни о какой опеке речи быть не может. А основания для лишения родительских прав, вот они, почитайте:

Статья 69 СК РФ. Лишение родительских прав

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:

уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;

отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, воспитательного учреждения, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;

злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;

являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;

совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Если ничего этого нет, то никто ее прав не лишит. Можете в суд обратиться с иском об определении места жительства ребенка, если Вы признали отцовство. Если нет, то и говорить об этом пока рано.