Как оформление гражданства влияет на возможность поступления в ВУЗ России для детей, вписанных в иностранный паспорт?

Нет. Не сможет. ВНЖ не является документом удостоверяющим личность. Таковым он является только для лиц без гражданства.

См.

Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 30.12.2015) "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" (с изм. и доп., вступ. в силу с 10.01.2016)

Статья 2. Основные понятия

1. В целях настоящего Федерального закона применяются следующие основные понятия:

иностранный гражданин - физическое лицо, не являющееся гражданином Российской Федерации и имеющее доказательства наличия гражданства (подданства) иностранного государства;

лицо без гражданства - физическое лицо, не являющееся гражданином Российской Федерации и не имеющее доказательств наличия гражданства (подданства) иностранного государства;

приглашение на въезд в Российскую Федерацию - документ, в том числе электронный документ, являющийся основанием для выдачи иностранному гражданину визы либо для въезда в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, в случаях, предусмотренных федеральным законом или международным договором Российской Федерации;

(в ред. Федерального закона от 27.07.2010 N 227-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

приглашающая сторона - федеральный орган государственной власти, дипломатическое представительство и консульское учреждение иностранного государства в Российской Федерации, международная организация и ее представительство в Российской Федерации, представительство иностранного государства при международной организации, находящейся в Российской Федерации, орган государственной власти субъекта Российской Федерации, орган местного самоуправления, юридическое лицо, гражданин Российской Федерации и постоянно проживающие в Российской Федерации иностранный гражданин и лицо без гражданства, а также иные имеющие в соответствии с федеральным законом право обращаться с ходатайством об оформлении приглашения на въезд в Российскую Федерацию органы, организации и физические лица, по ходатайству которых выдано приглашение на въезд в Российскую Федерацию иностранному гражданину или лицу без гражданства, въехавшим в Российскую Федерацию по визе, выданной на основании такого приглашения, либо непосредственно по указанному приглашению в случаях, предусмотренных федеральным законом или международным договором Российской Федерации;

(абзац введен Федеральным законом от 30.12.2012 N 315-ФЗ)

миграционная карта - документ, содержащий сведения о въезжающих или прибывших в Российскую Федерацию иностранном гражданине или лице без гражданства и о сроке их временного пребывания в Российской Федерации, подтверждающий право иностранного гражданина или лица без гражданства, прибывших в Российскую Федерацию в порядке, не требующем получения визы, на временное пребывание в Российской Федерации, а также служащий для контроля за временным пребыванием в Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства;

(в ред. Федерального закона от 18.07.2006 N 110-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

разрешение на временное проживание - подтверждение права иностранного гражданина или лица без гражданства временно проживать в Российской Федерации до получения вида на жительство, оформленное в виде отметки в документе, удостоверяющем личность иностранного гражданина или лица без гражданства, либо в виде документа установленной формы, выдаваемого в Российской Федерации лицу без гражданства, не имеющему документа, удостоверяющего его личность. Разрешение на временное проживание не может быть выдано в форме электронного документа;

(в ред. Федерального закона от 27.07.2010 N 227-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

вид на жительство - документ, выданный иностранному гражданину или лицу без гражданства в подтверждение их права на постоянное проживание в Российской Федерации, а также их права на свободный выезд из Российской Федерации и въезд в Российскую Федерацию. Вид на жительство, выданный лицу без гражданства, является одновременно и документом, удостоверяющим его личность. Вид на жительство не может быть выдан в форме электронного документа;

(в ред. Федерального закона от 27.07.2010 N 227-ФЗ)

Нет, для поступления нужен паспорт Вашей дочери.

Причём нужен заграничный паспорт гражданина Азербайджана.

Ибо Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации" в ст. 10 (Документы, удостоверяющие личность иностранного гражданина в Российской Федерации) указывает:

"Документами, удостоверяющими личность иностранного гражданина в Российской Федерации, являются паспорт иностранного гражданина либо иной документ, установленный федеральным законом или признаваемый в соответствии с международным договором Российской Федерации в качестве документа, удостоверяющего личность иностранного гражданина."

А если бы она не имела гражданства, то ВНЖ можно предъявлять:

"Документами, удостоверяющими личность лица без гражданства в Российской Федерации, являются:

1) документ, выданный иностранным государством и признаваемый в соответствии с международным договором Российской Федерации в качестве документа, удостоверяющего личность лица без гражданства;

2) разрешение на временное проживание;

3) вид на жительство;

4) иные документы, предусмотренные федеральным законом или признаваемые в соответствии с международным договором Российской Федерации в качестве документов, удостоверяющих личность лица без гражданства."

Дело в том, что я сейчас оформляю себе гражданство в упрощенном порядке, как носитель русского языка, по прямой восходящей родственной линии (через дедушку). А дети уже будут получать гражданство РФ через меня. Весь этот процесс очень долог и тяжел и мы не успеем до поступления дочери. Неужели теперь придется ехать в Баку и получать для девочки иностранный паспорт, чтобы она вовремя смогла поступить в ВУЗ...