Необходимость оформления нового патента для работы в области при переезде фирмы из Москвы

Да. нужно Москва и МО это разные субъекты РФ.

Ст. 16. Федеральный закон от 25.07.2002 N 115-ФЗ (ред. от 30.12.2015) "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации

"Иностранный гражданин не вправе осуществлять трудовую деятельность вне пределов субъекта Российской Федерации, на территории которого ему выдан патент. Работодатель или заказчик работ (услуг) не вправе привлекать иностранного гражданина к трудовой деятельности по патенту вне пределов субъекта Российской Федерации, на территории которого данному иностранному гражданину выдан патент.

Для осуществления иностранным гражданином трудовой деятельности на территории другого субъекта Российской Федерации данный иностранный гражданин обязан обратиться за получением патента в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в сфере миграции в субъекте Российской Федерации, на территории которого данный иностранный гражданин намеревается осуществлять трудовую деятельность, без соблюдения срока, установленного пунктом 2 настоящей статьи.

КоАП РФ, Статья 18.10. Незаконное осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации

1. Осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации без разрешения на работу либо патента, если такие разрешение либо патент требуются в соответствии с федеральным законом, либо осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности в Российской Федерации по профессии (специальности, должности, виду трудовой деятельности), не указанной в разрешении на работу или патенте, если разрешение на работу или патент содержит сведения о профессии (специальности, должности, виде трудовой деятельности), либо осуществление иностранным гражданином или лицом без гражданства трудовой деятельности вне пределов субъекта Российской Федерации, на территории которого данному иностранному гражданину выданы разрешение на работу, патент или разрешено временное проживание, -

влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации или без такового.