Где и как установить отцовство с помощью генетической экспертизы - проблема для нашего города?

Да, это возможно. В суде нужно заявить ходатайство о производстве экспертизы (ст. 79 ГПК РФ)

Нет ,это не возможно,

Экспертиза буде проводиться в экспертном учреждении по назначении суда

Статья 79. Назначение экспертизы

[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 6] [Статья 79]

1. При возникновении в процессе рассмотрения дела вопросов, требующих специальных знаний в различных областях науки, техники, искусства, ремесла, суд назначает экспертизу. Проведение экспертизы может быть поручено судебно-экспертному учреждению, конкретному эксперту или нескольким экспертам.

2. Каждая из сторон и другие лица, участвующие в деле, вправе представить суду вопросы, подлежащие разрешению при проведении экспертизы. Окончательный круг вопросов, по которым требуется заключение эксперта, определяется судом. Отклонение предложенных вопросов суд обязан мотивировать.

Стороны, другие лица, участвующие в деле, имеют право просить суд назначить проведение экспертизы в конкретном судебно-экспертном учреждении или поручить ее конкретному эксперту; заявлять отвод эксперту; формулировать вопросы для эксперта; знакомиться с определением суда о назначении экспертизы и со сформулированными в нем вопросами; знакомиться с заключением эксперта; ходатайствовать перед судом о назначении повторной, дополнительной, комплексной или комиссионной экспертизы.

3. При уклонении стороны от участия в экспертизе, непредставлении экспертам необходимых материалов и документов для исследования и в иных случаях, если по обстоятельствам дела и без участия этой стороны экспертизу провести невозможно, суд в зависимости от того, какая сторона уклоняется от экспертизы, а также какое для нее она имеет значение, вправе признать факт, для выяснения которого экспертиза была назначена, установленным или опровергнутым

Просить Вы можете что угодно, но не думаю, что суд удовлетворит такой способ проведения судебной экспертизы, т.к. присутствие судьи при указанной процедуре не требуется. Заявляйте ходатайство об экспертизе (ст. 35, 79 ГПК РФ)

Возможно ли такое, что сбор пробы ДНК у предполагаемого отца и ребенка (например, ватными палочками) будет проводиться в зале суда в присутствии судьи, а после пробы отправляться в другой город на анализ?

---всё возможно.если предоставите в суд эксперта. Статья 79. Назначение экспертизы

[Гражданский процессуальный кодекс РФ] [Глава 6] [Статья 79]

1. При возникновении в процессе рассмотрения дела вопросов, требующих специальных знаний в различных областях науки, техники, искусства, ремесла, суд назначает экспертизу. Проведение экспертизы может быть поручено судебно-экспертному учреждению, конкретному эксперту или нескольким экспертам.

2. Каждая из сторон и другие лица, участвующие в деле, вправе представить суду вопросы, подлежащие разрешению при проведении экспертизы. Окончательный круг вопросов, по которым требуется заключение эксперта, определяется судом. Отклонение предложенных вопросов суд обязан мотивировать.

Стороны, другие лица, участвующие в деле, имеют право просить суд назначить проведение экспертизы в конкретном судебно-экспертном учреждении или поручить ее конкретному эксперту; заявлять отвод эксперту; формулировать вопросы для эксперта; знакомиться с определением суда о назначении экспертизы и со сформулированными в нем вопросами; знакомиться с заключением эксперта; ходатайствовать перед судом о назначении повторной, дополнительной, комплексной или комиссионной экспертизы.

3. При уклонении стороны от участия в экспертизе, непредставлении экспертам необходимых материалов и документов для исследования и в иных случаях, если по обстоятельствам дела и без участия этой стороны экспертизу провести невозможно, суд в зависимости от того, какая сторона уклоняется от экспертизы, а также какое для нее она имеет значение, вправе признать факт, для выяснения которого экспертиза была назначена, установленным или опровергнутым.

Вы можете заявить в суде ходатайство о назначении экспертизы (ст. 79 ГПК РФ) если суд удовлетворит, тогда на заседание будет приглашен эксперт, либо Вам необходимо предоставить в суд независимую экспертизу (по Вашему заказу) в качестве доказательства (ст. 57 ГПК РФ)

Да, такой вариант возможен, нередко именно таким образом происходит сбор пробы в городах, где нет экспертных учреждений, производящих такие исследования. Все происходит в зале судебного заседания в присутствии судьи, потом собранный материал запечатывается в конверт и направляется в экспертное учреждение.