Я гражданка Казахстана, купила квартиру в Саратове, как в ней зарегистрировать сына на время подготовки к поступлению в институт?

Обратиться в УФМС и зарегистрировать.

В соответствии с нормами ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в РФ", если у вас нет ВНЖ в России,вы не можете быть принимающей стороной для иностранных граждан

Вы можете зарегистрироваться в квартире только лично

Выход в данном случае один- подарить сыну часть квартиры и он сможет там зарегистрироваться самостоятельно

Вам нужна принимающая сторона для регистрации иностранного гражданина. Принимающей стороной для иностранного гражданина может выступать лицо, упомянутое в ст.2 Федерального закона от 18.07.2006 N 109-ФЗ, где указано:

Статья 2. Основные понятия, используемые в настоящем Федеральном законе

... 7) сторона, принимающая иностранного гражданина или лицо без гражданства в Российской Федерации (далее - принимающая сторона), - гражданин Российской Федерации, постоянно проживающие в Российской Федерации иностранный гражданин или лицо без гражданства, юридическое лицо, филиал или представительство юридического лица, федеральный орган государственной власти, орган государственной власти субъекта Российской Федерации, орган местного самоуправления, дипломатическое представительство либо консульское учреждение иностранного государства в Российской Федерации, международная организация или ее представительство в Российской Федерации либо представительство иностранного государства при международной организации, находящейся в Российской Федерации, у которых иностранный гражданин или лицо без гражданства фактически проживает или осуществляет трудовую деятельность (находится). В качестве принимающей стороны в отношении членов своей семьи, определяемых в соответствии с "пунктом 9" настоящей части, могут выступать также иностранный гражданин или лицо без гражданства, относящиеся к высококвалифицированным специалистам в соответствии с "пунктом 8" настоящей части и имеющие в собственности жилое помещение на территории Российской Федерации...

Не понятно из Вашего вопроса какое гражданства у сына. От этого будет зависеть порядок регистрации. Если у него нет гражданства РФ, то не сможете его зарегистрировать. Если есть, то можно зарегистрировать, обратившись в ФМС. Вопрос регистрации граждан РФ урегулирован Правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечень должностных лиц, ответственных за регистрацию (утв. Постановлением Правительства РФ 17.07.1995 г. № 713), а также Административным регламентом предоставления Федеральной миграционной службой государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации (утв. Приказом ФМС РФ от 11.09.2012 г. № 288)

Нужно Вам с сыном обращаться в ФМС или МФЦ с документами на квартиру, с заявлением и своими паспортами,миграционными картами.

Приложение к приказу ФМС России от 29 августа 2013 г. N 364 того требует.

92. Основанием для начала административной процедуры является получение должностным лицом непосредственно от заявителя, либо через МФЦ, либо посредством почтовой связи уведомления о прибытии с приложением всех необходимых документов.