
Могу ли я после получения ВНЖ и регистрации переехать в другой город и подавать в нём документы на то же самое гражданство?

Да, такая возможность предусмотрена законодательством:
В соответствии с:
Федеральный закон от 18.07.2006 N 109-ФЗ
(ред. от 28.11.2015)
«О миграционном учете иностранных граждан и лиц без гражданства в Российской Федерации»
Статья 16. Порядок регистрации иностранных граждан по месту жительства
1. Заявление иностранного гражданина о регистрации по месту жительства должно быть подано в орган миграционного учета в месте нахождения жилого помещения, которое данный иностранный гражданин избрал в качестве своего места жительства, в течение семи рабочих дней с даты получения им разрешения на временное проживание или вида на жительство либо с даты его прибытия в место нахождения указанного жилого помещения.
