Родители детского сада обратились к главе города, чтобы предотвратить закрытие учреждения - должны ли воспитатели предоставить объяснительную записку и что ждет их в случае отказа?

Ничего не пишите, должностные инструкции не нарушали, говорите, что никого не дезинформировали. Откуда слухи не знаем.

Трудовой кодекс.

Статья 192. Дисциплинарные взыскания

За совершение дисциплинарного проступка, то есть неисполнение или ненадлежащее исполнение работником по его вине возложенных на него трудовых обязанностей, работодатель имеет право применить следующие дисциплинарные взыскания:

1) замечание;

2) выговор;

3) увольнение по соответствующим основаниям.

Федеральными законами, уставами и положениями о дисциплине (часть пятая статьи 189 настоящего Кодекса) для отдельных категорий работников могут быть предусмотрены также и другие дисциплинарные взыскания.

К дисциплинарным взысканиям, в частности, относится увольнение работника по основаниям, предусмотренным пунктами 5, 6, 9 или 10 части первой статьи 81, пунктом 1 статьи 336 или статьей 348.11 настоящего Кодекса, а также пунктом 7 или 8 части первой статьи 81 настоящего Кодекса в случаях, когда виновные действия, дающие основания для утраты доверия, либо соответственно аморальный проступок совершены работником по месту работы и в связи с исполнением им трудовых обязанностей.

Не допускается применение дисциплинарных взысканий, не предусмотренных федеральными законами, уставами и положениями о дисциплине.

При наложении дисциплинарного взыскания должны учитываться тяжесть совершенного проступка и обстоятельства, при которых он был совершен.