Можно запросить документы суда с их отметкой на официальном сайте суда или только по почте делать запрос?

Только по почте

Рассмотрение писем в электронной форме, а также направление ответов в эл.форме не предусмотрено

согласно Положению о порядке рассмотрения судами общей юрисдикции поступающих в электронной форме обращений граждан (физических лиц), организаций (юридических лиц), общественных объединений, органов государственной власти и (или) органов местного самоуправления, утвержденному Постановлением Президиума Совета судей РФ от 21.06.2010 г. № 229, с учетом возможностей программно-технического обеспечения официального сайта суда размер размещаемого на сервере обращения ограничен числом символов текста (до 4000) или объемом не более одной страницы печатного текста (формат А4). Обращение не должно содержать вложенных файлов. Обращения, содержащие текст большей длины, копии документов, фотографии и другие допустимые вложения, следует направлять почтовой связью или передавать непосредственно в суд. Не принимаются к рассмотрению обращения (запросы), содержащие, в частности, вопросы, требующие в соответствии с установленным порядком наличия удостоверяющих реквизитов (подписи, печати и др.).

Направляемые в суд процессуальные документы, в том числе ходатайства, должны быть подписаны лицами, их подающими.

Потому что суду нужен бумажный документ.

Смотря с какого суда Вы хотите получить документы. С судов общей юрисдикции только по почте направляя запрос, с арбитражного суда - можете запросить по почте, а также загрузив скан-копию в систему Мой арбитр в интернете.