Как вообще необходимо оформить осуществление такой деятельности (если заказы будут периодически поступать)?

Можете. Коды статистики здесь не при чем, они и нужны для статистических целей.

А насчет счета - это просто условие договора с покупателем, если он согласен, то предварительная оплата законом не запрещена.

Постановление Пленума Верховного Суда РФ

и Пленума Высшего Арбитражного Суда РФ от 1 июля 1996 г. N 6/8

"О некоторых вопросах, связанных с применением части первой Гражданского кодекса Российской Федерации"

" 18. При разрешении споров необходимо учитывать, что коммерческие организации, за исключением унитарных предприятий и иных организаций, предусмотренных законом, наделены общей правоспособностью (статья 49) и могут осуществлять любые виды предпринимательской деятельности, не запрещенные законом, если в учредительных документах таких коммерческих организаций не содержится исчерпывающий (законченный) перечень видов деятельности, которыми соответствующая организация вправе заниматься.

В связи с этим при разрешении споров следует учитывать, что коммерческой организации, в учредительных документах которой не содержится указанный выше перечень, не может быть отказано в выдаче лицензии на занятие соответствующим видом деятельности только на том основании, что соответствующий вид деятельности не предусмотрен ее учредительными документами".