Смогу ли я доказать факт своей работы через суд при отсутствии трудового договора в случае невыплаты зарплаты?

Требования работодателя незаконны. Отсутствие регистрации по месту жительства не может быть основанием для ограничения вашего права на труд (об этом прямо указано в статье 3 Трудового кодекса РФ: "Никто не может быть ограничен в трудовых правах и свободах или получать какие-либо преимущества независимо от пола, расы, цвета кожи, национальности, языка, происхождения, имущественного, семейного, социального и должностного положения, возраста, места жительства, отношения к религии, политических убеждений, принадлежности или непринадлежности к общественным объединениям, а также от других обстоятельств, не связанных с деловыми качествами работника.", а также в статье 3 Закона РФ от 25 июня 1993 г. N 5242-I

"О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации", где указано: "Регистрация или отсутствие таковой не могут служить основанием ограничения или условием реализации прав и свобод граждан, предусмотренных Конституцией Российской Федерации, законами Российской Федерации, Конституциями и законами республик в составе Российской Федерации."

Без офоормленного в письменной форме трудового договора доказать трудовые отношения будет затруднительно