Как правомерно определяется площадь квартиры и какие помещения входят в жилую площадь?

Это совершенно неправомерно. Изначально Вам все верно выставляли. Лишнее включать не должны. Вы не обязаны за это платить.

Советую обратиться с жалобой в жилищную инспекцию.

Из содержания части 1 статьи 20 Жилищного кодекса РФ следует, что предметом регионального государственного жилищного надзора, который осуществляется уполномоченными органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации, является деятельность уполномоченных органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации, направленная на предупреждение, выявление и пресечение нарушений органами государственной власти, органами местного самоуправления, а также юридическими лицами, индивидуальными предпринимателями и гражданами установленных в соответствии с жилищным законодательством, законодательством об энергосбережении и о повышении энергетической эффективности требований к использованию и сохранности жилищного фонда независимо от его форм собственности, в том числе требований к жилым помещениям, их использованию и содержанию, использованию и содержанию общего имущества собственников помещений в многоквартирных домах, формированию фондов капитального ремонта, созданию и деятельности юридических лиц, индивидуальных предпринимателей, осуществляющих управление многоквартирными домами, оказывающих услуги и (или) выполняющих работы по содержанию и ремонту общего имущества в многоквартирных домах, предоставлению коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домах, специализированных некоммерческих организаций, которые осуществляют деятельность, направленную на обеспечение проведения капитального ремонта общего имущества в многоквартирных домах (далее - региональный оператор), нарушений ограничений изменения размера вносимой гражданами платы за коммунальные услуги, требований энергетической эффективности и оснащенности помещений многоквартирных домов и жилых домов приборами учета используемых энергетических ресурсов (далее - обязательные требования), посредством организации и проведения проверок указанных лиц, принятия предусмотренных законодательством Российской Федерации мер по пресечению и (или) устранению выявленных нарушений, и деятельность указанных органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации по систематическому наблюдению за исполнением обязательных требований, анализу и прогнозированию состояния исполнения обязательных требований при осуществлении органами государственной власти, органами местного самоуправления, юридическими лицами, индивидуальными предпринимателями и гражданами своей деятельности.

В целях выполнения предмета регионального государственного жилищного надзора, органы государственного жилищного надзора в соответствии с положениями частей 4 - 6 статьи 20 Жилищного кодекса РФ организуют и проводят проверки указанных лиц и принимают предусмотренные законодательством Российской Федерации меры по пресечению и(или) устранению выявленных нарушений.