Я могу служить в Российскому Армии ряда ВДВ?

Да, почему бы и нет?

По контракту.

Вот перечень документов из Указа Президента о прохождении военной службы:

Статья 5. Порядок отбора кандидатов из числа граждан (иностранных граждан) на военную службу по контракту

1. Граждане, не находящиеся на военной службе, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению офицерами, подают заявления в военные комиссариаты, где они состоят на воинском учете (не состоящие на воинском учете - в военные комиссариаты по месту жительства).

Граждане, не находящиеся на военной службе, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению солдатами, матросами, сержантами, старшинами, прапорщиками и мичманами, а также иностранные граждане, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту в Вооруженные Силы Российской Федерации на воинские должности, подлежащие замещению солдатами, матросами, сержантами и старшинами, подают заявления в пункты отбора на военную службу по контракту (далее именуются - пункты отбора) или воинские части. Задачи и функции пунктов отбора, порядок обеспечения их деятельности определяются Министром обороны Российской Федерации.

Граждане, не находящиеся на военной службе, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту во внутренние войска Министерства внутренних дел Российской Федерации, в спасательные воинские формирования федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны, Службу внешней разведки Российской Федерации, органы государственной охраны и федеральный орган обеспечения мобилизационной подготовки органов государственной власти Российской Федерации, подают заявления в военные комиссариаты, где они состоят на воинском учете (не состоящие на воинском учете - в военные комиссариаты по месту жительства), или воинские части, а иностранные граждане, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту в спасательные воинские формирования федерального органа исполнительной власти, уполномоченного на решение задач в области гражданской обороны, - в военные комиссариаты по месту жительства или воинские части.

Граждане, не находящиеся на военной службе, изъявившие желание поступить на военную службу по контракту в органы федеральной службы безопасности, подают заявления в территориальный орган федерального органа исполнительной власти в области обеспечения безопасности.

(Пункт в редакции, введенной в действие Указом Президента Российской Федерации от 20 октября 2015 года N 522.

2. В заявлении указываются:

а) фамилия, имя и отчество гражданина (иностранного гражданина), число, месяц и год его рождения;

(Подпункт в редакции, введенной в действие Указом Президента Российской Федерации от 2 января 2015 года N 3.

б) место жительства;

в) наименование федерального органа исполнительной власти, с которым гражданин (иностранный гражданин) желает заключить контракт;

(Подпункт в редакции, введенной в действие Указом Президента Российской Федерации от 2 января 2015 года N 3.

г) срок, на который предполагается заключение контракта.

3. Вместе с заявлением гражданин (иностранный гражданин) предъявляет документ, удостоверяющий его личность и гражданство, и представляет:

(Абзац в редакции, введенной в действие Указом Президента Российской Федерации от 2 января 2015 года N 3.

а) заполненную по установленной форме и подписанную анкету поступающего на военную службу по контракту;

б) автобиографию, написанную от руки в произвольной форме;

в) заверенную в установленном порядке копию трудовой книжки;

г) заверенные в установленном порядке копии документов, подтверждающих уровень образования;

(Подпункт в редакции, введенной в действие Указом Президента Российской Федерации от 1 июля 2014 года N 483.

д) заверенные в установленном порядке копии свидетельств о браке и о рождении детей;

е) дополнительные документы.

Перечень и содержание дополнительных документов, представляемых гражданами (иностранными гражданами) в военные комиссариаты (пункты отбора) при поступлении на военную службу по контракту, устанавливаются Министром обороны Российской Федерации (в воинских частях - руководителями федеральных органов исполнительной власти в соответствии с подчинением этих воинских частей)....

Изучите этот Указ лучше полностью.