Как доказать отцовство и узнать о завещании после смерти отца, с которым не был официально состоятельным отношений?

В случае смерти лица, которое признавало себя отцом ребенка, но не состояло в браке с матерью ребенка, факт признания им отцовства может быть установлен в судебном порядке по правилам, установленным гражданским процессуальным законодательством, в порядке особого производства об установлении фактов, имеющих юридическое значение.

Но есть большая вероятность, что такое заявление будет оставлено без рассмотрения ввиду наличия спора о праве. Дело в том, что факты, имеющие юридическое значение, согласно ГПК устанавливаются не просто так, а в целях возникновения, изменения, прекращения личных или имущественных прав граждан. И в заявлении об установлении юр. факта обязательно должно быть разъяснено, для каких целей устанавливается факт. Судя по вопросу, целью установления факта признания отцовства является наследование, а это уже спор о праве, с другими наследниками. Поэтому, если при подаче заявления или рассмотрении дела в порядке особого производства устанавливается наличие спора о праве, подведомственного суду, суд выносит определение об оставлении заявления без рассмотрения, в котором разъясняет заявителю и другим заинтересованным лицам их право разрешить спор в порядке искового производства, т.е. иск о признании права собственности в порядке наследования, и в этом деле и потребуется доказывать, что отец при жизни признавал её дочерью. Каким образом - пока об этом не говорим.

Поэтому, более целесообразен вариант сразу обратиться с иском, но подсуден он будет суду по месту последнего жительства отца, либо нахождению его недвижимого имущества. Подобных дел (об установлении факта признания отцовства) в практике было 4, и в каждом деле судьи очень скурпулёзно исследовали вопрос о наличии/отсутствии спора о праве, на наследство, и один раз такой спор "закамуфлировать" не удалось, и заяление было оставлено без рассмотрения.

Вопросом имеет смысл заняться, даже очень, т.к. при отсутствии от него завещания, в котором дочь бы не упоминалась, она в любом случае сможет наследовать наравне с остальными его наследниками.

Насчёт завещания попытайтесь выяснить у нотариуса, нотариус также по месту его последнего жительства, но не уверен, что нотариус что-то сообщит.. В этом случае останется только действовать "вслепую", пошагово.

Ещё одна проблема будет, возможно - установить ответчиков, если не знаете данных.

И главное - не пытайтесь даже заниматься "самолечением", далеко не тот случай.