Истек срок регистрации, инспектор отказал - необходимо выезжать на Украину

Начнем с того, что сама по себе миграционная карта не имеет срока действия, поэтому ее невозможно продлить. Продлить можно только срок разрешенного временного пребывания (нахождения в России),

Кто она по статусу (мама ребёнка)? Нелегально находящийся в России иностранный гражданин... Теоретически, может быть задержана и выслана из России с дальнейшим запретом на въезд лет на 5. Может быть, дело закончится только штрафом. По идее, надо идти "сдаваться" в ФМС, прилагая все документы о рождении ребенка, медицинские справки и врачебные заключения, подтверждающие невозможность выезда вовремя. Плюс иметь в виду "невозможность разделения матери с грудным ребенком" и тому подобное.

Не уверена, нужен ли детский паспорт в Казахстане, но:

Как я понимаю, один родитель имеет гражданство только России, второй только Казахстана, а ребенок родился в России. Тогда он получил по рождению одновременно и российское, и казахстанское гражданство, таким образом, у него оказалось двойное. Для корректного пересечения границы надо оформить как российские документы (для выезда из России), так и казахстанские (для въезда в Казахстан). Для выезда из России можно использовать свидетельство о рождении (или оформить отдельный загранпаспорт, что рекомендуется - однозначное подтверждение гражданства и возможность путешествовать в разные страны), для въезда в Казахстан надо получить документы из их консульства - вписать в паспорт к маме, или получить отдельный "проездной документ ребенка", смотря, что там принято.