Родила ребенка без мужа и дала свою фамилию (то-есть первого мужа).

Уважаемый Владимир!

Из вопроса следует, что официально отцовство ребенка не установлено (если я правильно поняла).

В этом случае фамилия определяется по фамилии матери и боолее никак. Об этом в Семейном кодексе РФ указано:

Статья 51. Запись родителей ребенка в книге записей рождений

3. В случае рождения ребенка у матери, не состоящей в браке, при отсутствии совместного заявления родителей или при отсутствии решения суда об установлении отцовства фамилия отца ребенка в книге записей рождений записывается по фамилии матери, имя и отчество отца ребенка - по ее указанию.

Если решением суда будет установлено отцовство, то такой отец может ставить вопрос об изменении фамилии ребенка в порядке, установленном ст. 59 СК РФ:

"Статья 59. Изменение имени и фамилии ребенка

1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.

2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка."