Какие права в данной ситуации на дочку имеет ее отец, исходя из тех же условий?

Ситуация в следующем. Мы с женщиной не расписаны. Проживаем вместе. Она ждет от меня ребенка. У нее есть дочь 4 лет от другого мужчины. В браке они не состояли. Фамилия у девочки – мамина. Генетической экспертизы не было. Подачи заявлений на что-либо с обеих сторон также не было. Первые 2 года мужчина не объявлялся. Потом отношения, в основном благодаря его родителям, были восстановлены. Дочку стали забирать на праздники, на летние месяцы. При этом игнорировалась мать, та сторона только забирала и привозила обратно дочь. Мать беспокоит этот факт, больше из-за того, что, не присутствуя рядом, она не может повлиять на то, что говорят девочке, как преподносят ту или иную ситуацию, как участвуют в ее воспитании. Поэтому она приняла и озвучила той стороне решение, что теперь дочку можно забирать к себе только с матерью. В ответ, естественно, было много криков со стороны мужчины и его родственников. Чтобы обезопасить женщину (тем более, что сейчас она беременна и негатив ей не нужен), ее дочь и как-то разрешить эту ситуацию, хотелось бы знать, какие права имеют обе стороны. Может ли мать настаивать на том, чтобы отец (напомню, нет ни фамилии, ни генетической экспертизы, ни официального признания отцовства) мог встречаться с дочкой только в ее присутствии? Какие права в данной ситуации на дочку имеет ее отец, исходя из тех же условий? Что скажет в такой ситуации суд, если будет показано, что материальное положение отца существенно выше, чем матери, и при этом он не имеет никаких документов, подтверждающих его отцовство? При этом материальное положение матери вполне нормально, никто не бедствует, не пьет, не имеет приводов, все родственники с ее стороны работают. Заранее благодарю.