Я прописана в квартире, собственником которой является моя дальняя родственница.

После смерт и собственницы у вас будет только право пользования и проживания в квартире. Право собственности у вас не возникнет. При остутсвии завещания перейет наследникам 1 очереди супругу, детям и родителям, внукам по праву представления, далее следующие очереди. Может вы попадаете - вы не указали, кем вы приходитесь.

Если будет завещание, то некоторые смогут претндовать на обязательную долю и почлуить часть квартиры. Тогда лучше вам продавть при жизни, если кончено родственница желает.

Из текста вопроса неясно, какова степень Вашего родства с собственником квартиры, и есть ли у собственника иные более близкие родственник, чем Вы, чтобы определить, унаследуете ли Вы эту квартиру по закону.

Однако, следует заметить, что в случае смерти Вашей родственницы, Вы сохраните право пользования этой квартирой, т.е. сможете так же, как и сейчас, проживать в ней, но не приобрете права собственности (продать, отдать в залог, передать в аренду и т.п.), если Вы не войдете в круг наследников по закону или по завещанию.

Ежели Вы Вы не попадаете в круг наследников по закону, но хотите приобрести право собственности на эту квартиру после смерти ее собственника, и Ваша родственница желает помочь Вам в этом, то Вашей родственнице следует эту квартиру завещать Вам.

В идеале дарственная.