То есть могут ли ребенок и мать быть прописаны по разным адресам?

Отвечу на ваш вопрос со ссылками на законодательство:

Статья 20 ГК РФ признает местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов. Т.е.. если ребенок не достиг 14 лет, он может быть зарегистрирован по месту жительства родителей.

Нормы Семейного кодекса РФ о праве ребенка на семейное воспитание согласуются с правилом, установленным в пункте 2 статьи 20 Гражданского кодекса РФ, где место жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, определяется как место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов. В целях обеспечения права ребенка на совместное проживание с родителями или лицами, их заменяющими, регистрация по месту жительства детей, не достигших четырнадцатилетнего возраста и проживающих вместе с родителями (усыновителями, опекунами), осуществляется на основании документов, удостоверяющих личность родителей (усыновителей), или документов, подтверждающих установление опеки, и свидетельства о рождении несовершеннолетних.

(Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня должностных лиц, ответственных за регистрацию"