Сможет ли гражданин РФ по доверенности ездить на машине армянскими номерами?

Нет не сможет. Может ездить только собственник. Доверенность проблемы не решит. Т.к. авто временно ввезено (ст. 358 ТК ТС)

Да, сможет пользоваться ТС, если документы в порядке, и пошлина уплачена.

Ибо ст. 358 ТК ТС гласит:

"Передача права пользования и (или) распоряжения временно ввезенными товарами для личного пользования, в том числе транспортными средствами, другому лицу на таможенной территории таможенного союза допускается при условии их таможенного декларирования и уплаты таможенных платежей в порядке, установленном таможенным законодательством таможенного союза."

Причём ст. 185.1 ГК РФ требует заверения у нотариуса такой доверенности.

Нет, это недопустимо. Никакой доверенности

Статья 344. Операции с временно ввезенными транспортными средствами международной перевозки

1. С временно ввезенными транспортными средствами международной перевозки допускается совершать обычные операции по их техническому обслуживанию или ремонту, которые потребовались при их следовании на таможенную территорию таможенного союза либо нахождении на указанной территории.

2. На таможенной территории таможенного союза не допускается:

передача временно ввезенных транспортных средств международной перевозки иным лицам, в том числе в аренду (в субаренду), за исключением передачи их для ремонта, технического обслуживания, хранения либо передачи в целях завершения операции перевозки путем немедленного вывоза транспортного средства международной перевозки.

Если автомобиль не растаможен,а ввезен временно,то не сможете и доверенность здесь не причем.

без уплаты таможенных пошлин, налогов автомобили, зарегистрированные в иностранном государстве, на срок своего временного пребывания, но не более чем на 1 год и при условии, что в течение этого срока такое транспортное средство не будет использоваться для производственной или иной коммерческой деятельности, отчуждаться, передаваться в пользование, владение либо распоряжение другим лицам.

утверждена приказом ГТК России от 30.09.94 N 507 "Об утверждении формы удостоверения ввоза транспортного средства".

Российские физические лица могут временно ввезти автомобиль

при условии, что эти транспортные средства зарегистрированы на территории иностранного государства и общий срок временного ввоза не превышает 6 месяцев в течение 1 календарного года в отношении каждого временно ввезенного автомобиля.

В соответствии с п.7 ст. 283 Таможенного кодекса РФ российские физические лица могут временно ввозить транспортные средства при условии, что эти транспортные средства зарегистрированы на территории иностранного государства и в совокупности сроки временного ввоза не превышают шести месяцев в течение одного календарного года, при условии уплаты депозита.

Временный ввоз авто без уплаты таможенных пошлин разрешен только иностранным гражданам, постоянно проживающим за границей и только для личного пользования.