Как доказать банку, что гражданский муж имел страховку на кредит и что происходит с кредитом после его смерти?

С кредитом будет вот что. Если случай не страховой, или если будут иные проблемы с выплатой страховки, банк будет ждать, пока наследники вступят в наследство, и это наследство откроется (полгода). Если наследников нет, то кредит так и останется неоплаченным. Если наследники есть и вступят в наследство, то будут нести ответственность в пределах стоимости имущества, банк обратится в суд и взыщет с них долг. Так как вы не были юридически в браке, наследницей не являетесь, ответственность по долгам не несете.