Законны ли требования инспекции и как можно доказать что они ошибаются (если это так)

Неизвестно. Если имеются еще виды деятельности, не подпадающие по ЕНВД, то правомерны.

НК РФ.

"Глава 26.3. Система налогообложения в виде единого налога на вмененный доход для отдельных видов деятельности

Статья 346.26. Общие положения

7. Налогоплательщики, осуществляющие наряду с предпринимательской деятельностью, подлежащей налогообложению единым налогом, иные виды предпринимательской деятельности, обязаны вести раздельный учет имущества, обязательств и хозяйственных операций в отношении предпринимательской деятельности, подлежащей налогообложению единым налогом, и предпринимательской деятельности, в отношении которой налогоплательщики уплачивают налоги в соответствии с иным режимом налогообложения. При этом учет имущества, обязательств и хозяйственных операций в отношении видов предпринимательской деятельности, подлежащих налогообложению единым налогом, осуществляется налогоплательщиками в общеустановленном порядке.

Налогоплательщики, осуществляющие наряду с предпринимательской деятельностью, подлежащей налогообложению единым налогом, иные виды предпринимательской деятельности, исчисляют и уплачивают налоги и сборы в отношении данных видов деятельности в соответствии с иными режимами налогообложения, предусмотренными настоящим Кодексом".