Позвонил сотрудник ГИБДД и сказал, что срок лишения не пойдёт пока я не здам водительское удостовирение.

Да, это действительно так.

Статья 32.7. Исчисление срока лишения специального права

1. Течение срока лишения специального права начинается со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права.

1.1. В течение трех рабочих дней со дня вступления в законную силу постановления о назначении административного наказания в виде лишения соответствующего специального права лицо, лишенное специального права, должно сдать документы, предусмотренные частями 1 - 3 статьи 32.6 настоящего Кодекса, в орган, исполняющий этот вид административного наказания (в случае, если документы, указанные в части 1 статьи 32.6 настоящего Кодекса, ранее не были изъяты в соответствии с частью 3 статьи 27.10 настоящего Кодекса), а в случае утраты указанных документов заявить об этом в указанный орган в тот же срок.

(часть 1.1 в ред. Федерального закона от 01.07.2010 N 145-ФЗ)

2. В случае уклонения лица, лишенного специального права, от сдачи соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов срок лишения специального права прерывается. Течение срока лишения специального права начинается со дня сдачи лицом либо изъятия у него соответствующего удостоверения (специального разрешения) или иных документов, а равно получения органом, исполняющим этот вид административного наказания, заявления лица об утрате указанных документов.