Имеет ли инспектор забрать авто если закончилась ОСАГО или забыл дома.

Не имеет такого права. Максимум, что сможет:

Статья 12.37. Несоблюдение требований об обязательном страховании гражданской ответственности владельцев транспортных средств

(введена Федеральным законом от 25.04.2002 N 41-ФЗ)

КонсультантПлюс: примечание.

Об обязательном страховании при ограниченном использовании транспортных средств см. статью 16 Федерального закона от 25.04.2002 N 40-ФЗ.

1. Управление транспортным средством в период его использования, не предусмотренный страховым полисом обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортного средства, а равно управление транспортным средством с нарушением предусмотренного данным страховым полисом условия управления этим транспортным средством только указанными в данном страховом полисе водителями -

влечет наложение административного штрафа в размере пятисот рублей.

(в ред. Федеральных законов от 22.06.2007 N 116-ФЗ, от 23.07.2013 N 196-ФЗ)

2. Неисполнение владельцем транспортного средства установленной федеральным законом обязанности по страхованию своей гражданской ответственности, а равно управление транспортным средством, если такое обязательное страхование заведомо отсутствует, -

влечет наложение административного штрафа в размере восьмисот рублей.

(в ред. Федеральных законов от 22.06.2007 N 116-ФЗ, от 23.07.2013 N 196-ФЗ)